第三辑 数学

p; 为什么有近似值

    有的时候可能有人将问你：“你们年级有多少位同学呀?”你并不知道确切的数字，可你知道你班上有35位同学，共有4个班，因此你会说：“大概140名吧！”这时你所给出的数字便是近似值，由于你不知到底有多少位同学，所以就用近似值取代了准确值；并且你的分析也十分正确，年级中总共有143位同学，你所给出的近似值与准确值是十分接近的。近似值是相对于准确值而说的。它非常接近准确值却又绝不是准确值。而在我们的日常生活当中，近似值是广泛应用的，由于有的时候我们不需要十分严格、确切，使用近似值完全能够行得通。

    若问到一个人的年龄时，人们大多只说多少岁，而不用说某年某月某日出生。除了是遇到了同年出生的人，才会用到某年某月某日出生。若人们问时间时，回答的人也一般只说几点几分，而不会精确到几秒；但问路时，回答的人也会说大约200米、500米这样的话，根本没法准确地说出多少米，况且问路的人也绝不会因为听到的是近似值而不满意的。

    可是有的时候使用近似值却是完全行不通的。像收音机里每一小时的报时的信号，和真正准确的时间只差千分之几秒，因此远洋航行的轮船就能根据这个信号来确定自己的位置。像发射导弹、定向爆破的定位装置，都必须严格地计算角度、炸药用量的数字，不然真是差之毫厘，谬以千里，结果是不堪设想的。

    那么何时使用近似值，何时使用准确值呢?这要看实际问题的需要，以实际问题的需要来决定应该准确到何等程度。

    像谈论年龄，我们仅准确到年；但谈论时间，一般都要准确到分钟；但体育比赛的结果，便要精确到秒了。

    因此在各类不同问题中，量的准确选择是绝对不同的。正像量布的长度和测量公路长度所要求的准确度是完全不一样的。

    知识点：人数、年龄、时间、实际

    为什么游泳圈也叫救生圈

    只要游过泳的人便都有过使用游泳圈的记忆，当你套上五彩缤纷的游泳圈在水里游泳、嬉戏的时候，你是否想到过，游泳圈的浮力有多大呢？为何它能把一个人托在水面上呢?而它的浮力是如何计算的呢?用数学知识我们应该知道，若把游泳圈充满气之后的体积，乘以水的密度，然后再减去游泳圈自身重量，再乘以常数g(9.8），得到的结果便是游泳圈所有的浮力。

    水的密度一般在计算中可以取每立方厘米l克，即，每立方厘米的水的质量是1克。下面，我们看看游泳圈的体积如何计算。

    要先把游泳圈充好气，然后再用有刻度的直尺来测量一下下面三列数据：①环形的宽度w，它是游泳圈的环的宽度，要注意，在测量的时候要让尺的延长线通过游泳圈的中心轴线，测量出的数据会比较准确。②游泳圈的高h。让游泳圈平放在地上，量出它的高度。③充好气之后游泳圈的内径为r。有了这三个数据后，游泳圈的体积便可以按下列公式计算出：V＝1／2ππwh（r+1/2w）。

    其中π为圆周率，取π=3．14，w、h、r分别为充气之后游泳圈的环宽度、高度与内径长度。让我们来具体计算一下。市面上出售的一种没充气时最外边的圆直径是75厘米的塑料游泳圈。充足以后量得环宽w=17厘米，环高h=13厘米，环内径r=15.5厘米，自重为170克。把这些数据代到计算公式里就可以得出V＝1／2×3.143×.14×17×13（15.5+17/2）=26148立方厘米。

    这样，这种游泳圈所具有的浮力大约是254.5牛顿（■×9.8）。

    因为人在水中也受到来自水的浮力，若再加上游泳圈自身的浮力，便会把人托出水面，因此游泳圈也叫救生圈。

    知识点：浮力、宽、高、内径

    为什么汽油桶、热水瓶是圆柱形的

    汽油桶、热水瓶等，都是用来装液体的容器。不知平时你注意过没有，装液体的容器，大都是圆柱形的。这是否有数学方面的道理呢?有的。

    我们生产一件容器，都希望可以用最省的材料，来装一定体积的液体。或者说，用同样的材料，做成的容器的容积最大。

    在平面几何里，我们学过计算圆面积以及一些正多边形的面积或周长的方法。例如：一个面积为100平方厘米的正方形的周长是40厘米；而同样面积的正三角形的周长大约等于45．6厘米；而同样面积的圆的周长只有35．4厘米。也就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长比较小，圆的周长最小。因此，装同样体积的液体的容器中，假如容器的高度一样，那么，侧面所需的材料以圆柱形的容器最为节省。所以，汽油桶、热水瓶等装液体的容器，都是圆柱形的。

    有没有比圆柱形更为省料的形状呢?有的。依据数学原理，用相同的材料做的一些容器中，球形的容器的容积总要比圆柱形的大。就是说，做球形的容器，能节约材料。但是，因为球形的容器易滚动，而且放不稳，它的盖子也不容易做，因此不实用。

    放固体的容器，例如盒子、箱子、柜子等，为什么不去做成圆柱形的呢？尽管做圆柱形的容器相当省料，然而装起固体东西却不经济，因此通常把它们做成长方体的。

    知识点：液体、容器、节省

    为什么照相机用三角架而不用四角架

    你肯定见过照相机所专用的三角架，它伸出来三条长长的腿，稳稳地托住上面的照相机，使拍出来的照片将不会因为拍摄者手的轻微移动而变模糊。除了照相机的三角架外，拍电影所用的摄像机也都有一个三脚架，往往脚上还有副轮子，以方便摄像机的移动。

    在我们生活中有四只脚的东西也很多，像桌子、椅子和各种鞋架子、超市里的货物架等等，不是都很稳当吗?为何照相机却不用四脚架，而用三脚架呢?

    这是由于照相机利用了一个很重要的原理：不在同一条直线上的三个点，能确定一个平面，而且只能确定这一个平面，也就是说，那个平面是惟一性的，只可能有一个，绝对不可以有第二个。照相机的三个脚便构成三角形的各个顶点，它们不在同一条直线上，若按照上面的性质，这三点刚好构成了三脚架底面的惟一平面，三脚架上边的照相机便稳当地固定在这个平面上，因为是惟一的平面，照相机才不会晃动，不会影响拍摄的效果。

    在生活当中，我们也有这样的经验：有时候因为地面不平整，椅子的一只脚总上下地动，一会向上，一会向下，让坐在上面的人很不舒服。由于不在同一条直线上的三个点构成一个惟一平面，但椅子都有四个脚，相当于有四个点了，它们中的三点便构成了一个平面，剩下的那个点便可能在这个平面上，也可以不在这个平面上。若椅子的第四个脚不在另外三只脚构成的平面上的时候，这只脚便会悬着，椅子便晃了。

    照相机若使用四脚架，就一定保证四个脚同时在一平面上方能稳定，这便要求地面十分平整，若地面不平，照相机便放不稳当。桌子、椅子与各种架子一般都是摆在室内，地面都很平整，但照相机可不一定全在屋内使用啊，有时还要在森林内拍照呢。那便不如使用三脚架了，三脚架对地面无要求，无论地面情况如何，照相机总能放得稳稳当当。这便是照相机使用三脚架的原因。

    你曾经野营露宿过吗?是否还记得大家生了火，便支了三根木棒，上面的瓦罐来煮饭烧水吗?这与照相机三脚架的原理是同样的，只是我们把照相机放在它上面，而把瓦罐吊在了下面而已，下次野炊的时候，可一定要动脑筋啊。

    知识点：顶点、平面、平整

    为什么π值是永不循环的

    有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代：“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。”

    圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母π。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3．14，这被称为“徽率”。

    在公元460年，祖冲之应用刘徽的割圆术，算得圆周率为3．1415926。祖冲之所求的π值，保持了1000多年的世界纪录。

    1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把π值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。

    18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉·欣克用了几十年时间，将π值算到707位。

    到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将π值推到新的顶点4．8亿位。

    知识点：常数、割圆术、圆周率、推算

    为什么国王无法把棋盘里的米赏给术士

    从前在古印度有个国王，天性喜欢玩，有一次他下令在全国张贴招贤告示：如果谁能替国王找到奇妙的游戏，将给予重赏。

    一个术士（术士是指有谋略，有智慧的人）揭了招贤榜。他发明了一种棋，使国王玩得爱不释手。于是，国王高兴地问术士：“你对本王的赏赐有什么要求？”术士赶忙拜倒说：“大王陛（bì）下，小小的术士没有特殊要求，只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米，然后在每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米，六十四个格子放满了，也就是我要求的赏赐了。”

    国王一听，这么大个国家区区这一点米算得了什么，于是一口答应了。可是，当国王找来算师一算棋盘中的米，顿时大吃一惊。原来即使把全国的米都运来，也无法填满棋盘上的64个格子。

    这是为什么？国王究竟该赏给术士多少米呢？

    我们来算一下：第一个格子是一粒米，第二个格子里放两粒米，共有三粒米，用公式表示为1+2=3=22-1，第三个格子中有四粒米，于是第一、二三个格子中一共为七粒米，1+2+4=7=23-1。再加上第四个格子中的八粒米，共15粒，1+2+4+8=15=24-1，……一直这样加下去，可以推知64个格子中共有米为264-1，这个数是多少呢？大约等于18，446，744，073，709，551，615，共20位。啊！真是不算不知道，一算吓一跳。这个数字之大是不可想像的，例如用仓库来装这些米，就要有高4米、宽10米的仓库从地球盖到太阳，再从太阳盖回地球那么长！

    为什么这个数字会这样惊人呢？原来，聪明的术士是运用了数学上的几何级数的知识，使得棋盘中米的数量沿几何级数向上增长，使一粒米、两粒米这样的小数目很快变成了一个不可思议的大数字。缺乏数学知识的国王怎能理解几何级数的奥妙呢？

    知识点：米粒、几何级数

    为什么时间和角度的单位

    用六十进位制

    时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢?为什么又都用六十进位制呢?

    我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位“小时”、角度的单位“度”都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……

    数学上习惯把这个1/60的单位叫做“分”，用符号“′”来表示；把1分的1/60的单位叫做“秒”，用符号“″”来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。

    这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。

    这种六十进位制(严格地说是六十退位制)的小数计数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。

    知识点：时间、角度、六十进位制

    为什么说统计无处不在

    统计数字是现代社会不可少的，大到国家每隔一定年限对全国人口进行的普查统计，小至一位老师在考试结束之后对学生的成绩进行分数统计。而今天，统计学的理论和方法不仅得到了广泛的应用，还改变着人们对世界的认识。那么，统计是怎么出现的呢？

    早在17世纪，有一个叫约翰·格朗特的英国商人，对政府公布的死亡表进行了研究。他发现各种疾病、自杀和五花八门的事故所导致死亡的人数所占百分比是基本不变的，而因传染病死亡的人数所占百分比波动较大。1662年，他把自己的研究成果发表在名为《对死亡表的自然观察和政治观察》一书中，这本书被称作“真正统计科学的开端”。

    统计学就是用于对足够多的反映社会现象的量进行观察研究，并揭示其规律的科学。

    例如，考察人的智力情况。任意选择一些人，用设计好的试题测验他们的智力。测试的结果是：他们的智力分布呈现出一条钟型曲线。即智力一般的人占绝大多数，智力低下和智力超常的人占少数。而且测试的人越多，曲线就越呈钟型。人类的智力在总体上服从一种确定的定律，这一规律只有依靠统计学的研究才能发现。

    现代统计学有什么特点呢？

    首先，现代统计在概率论的基础上，建构了其独特的数学方法；

    第二，统计采用抽样的方法，注重由样本（抽出的样品称样本）对总体进行推断；

    第三，统计离不开大量的观察，并分析观察结果的规律性；

    第四，统计学必经研究科学的，有效的实验设计（例如，智力测验中试题的设计）。

    进入20世纪，统计学获得了巨大的发展和迅速的普及。试想：在自然科学领域，物理化学、地质学、遗传学，在社会科学领域，经济学、社会学、管理学，甚至民意测验、资产评估、产品销售、犯罪案件等等，哪一项能离开统计？

    统计真是无处不在。

    知识点：统计、现象、规律、特点

    为什么中国把“毕达哥拉斯定理”

    称为“勾股定理”

    在平面几何中，有这样一条著名的定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

    △ABC是直角三角形，∠C＝90°，

    设：BC=a，AC=b(a<b)，AB=c，

    则有：a2+b2=c2。

    这条定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，而在中国，却被称为“勾股定理”。这是为什么呢?

    原来，西方人认为是毕达哥拉斯在公元前500年发现的这一定理，早在这年代之前就被中国数学家发现了。在我国现存最早的数学著作《周髀算经》上，记载了公元前12世纪周公和商高的一段对话。商高的答话中有一句为“……故折矩，此为勾广三，股修四，径隅五”。后来这话，简称为“勾三股四弦五”，即：a：b：c=3：4：5，这就提出了该定理的特殊形式，接着该书在下文又记载了公元前六七世纪荣方和陈子的一段对话，陈子说：“若求邪(斜)……勾股各自乘，并而开方除之。”即■=c，c2=a2+b2。这进一步说明了该定理的一般形式。

    1951年，我国的《中国数学杂志》第一期上曾就这一问题进行讨论，因为商高和陈子都是比毕达哥拉斯早年代的人，所以有人主张将“毕达哥拉斯定理”改称“商高定理”或“陈子定理”。最终，我们以“勾股定理”为其命名，这样既准确反映了我国古代数学的辉煌成就，也形象地概括了这一定理的内容。

    知识点：毕达哥拉斯定理、勾股定理

    为什么古希腊会取得非常辉煌的数学成就

    提到古代数学，就要提到古希腊。《几何原本》就诞生在古希腊，这部雄视数学界两千多年的巨作让古希膜当之无愧地成了“几何学之母”。除此之外，它还使得算术从几何学中分离出来成为独立的数学学科，同时解决了大量的代数方程问题，高等数学也开始萌芽了。

    为什么古希腊会取得如此辉煌的数学成就呢?

    首先，哲学的发展使人们渐渐不满足于了解事物是“怎么样”的，而更希望知道“为什么”。一些人开始提出这样的问题：“为什么等腰三角形两底角相等?”“为什么圆的直径将圆二等分?”虽然通过简单的折纸实验就能证实这些论断，但是人们渴望得到更进一步的逻辑论证。这样一来，古希腊数学在逻辑体系上就有了全新的发展，从而推动了几何学的巨大进展。

    第二，任何学科的发展都离不开交流。古希腊的数学也是吸收了他人所长，从而得到进步和创新的。被公认为希腊几何学鼻祖的泰勒斯就曾在埃及居住和学习。他回到故乡后建立学校，传授带回来的数学和其他学科的知识。他和他的一些学生很快赶超了埃及的水平，在古希腊的数学发展中起到了极大的推动作用。

    第三，社会生产和实际向来都是科学发展的主要动力。在当时的古希腊已经有了比较雄厚的国力和比较先进的科学技术，航海与商业的发展也不断向数学提出新的研究课题，而数学又在不断应用中得到了新的发展。

    古希腊数学成就的取得和人的因素是分不开的。许多数学问题的解决往往都凝聚着几代人的心血，最终的突破性进展通常由一个或几个人完成。在古希腊的科学文化中心——亚历山大博学院，集中着一大批优秀人才，为数学突破提供了必要的条件。毕达哥拉斯、希波克拉底、海伦、丢番图等在史书上被永远铭记的数学家都是古希腊数学成就的缔造者。

    在现今的中国，科技的发展对数学提出了崭新的要求，对外开放和综合国力的增强为学习和发展提供了良好的机遇，能否创造中国数学的辉煌，就在于我们每个人的探索与追求。

    知识点：古希腊、数学、哲学、交流、动力

    为什么诺贝尔奖获得者中有许多数学家

    诺贝尔科学奖中有物理学奖、化学奖、医学奖、经济学奖等等，但是没有数学奖。原因是什么，现在已无从得知。想来是诺贝尔认为数学和科学不同，科学是研究客观现实的，有明确的可以观察的物质形态，而数学是研究数和形等抽象概念的，两者之间有明显的差异。当然，这只是猜测而已。

    然而，由于数学是科学研究的有力工具，许多重大的科学成果主要依靠数学工作而获得，因此一些数学家先后获得诺贝尔奖。例如：前苏联的康脱洛维奇是著名数学家，他以线性规划的研究获得1971年的诺贝尔经济学奖；数学家A·柯马赫和G·洪斯费尔德用数学方法完成了CT扫描技术，对医学诊断有极大贡献，因而获得了1979年的诺贝尔医学奖；H·霍普顿因为用数学方法测定晶体结构，获得了1985年的诺贝尔化学奖。

    由此看来，数学和科学是不可分割的。要想在科学上做出杰出的成绩，数学是不可缺少的工具。年轻时学好数学，将会给未来的科学生涯打下坚实的基础。

    知识点：诺贝尔奖、数学家、数学、工具、科学

    为什么女数学家比较少

    自从人类社会由母系社会转为父系社会以后，世界各国都存在着“男尊女卑”、“重男轻女”的现象。妇女在社会上没有地位，也就不可能产生很多的女科学家。

    在科学上争取“男女平等”的社会变革，是19世纪末20世纪初才开始的。出生于波兰的M·居里夫人先后获得了诺贝尔物理学奖和化学奖；在中国成长的吴健雄博士是美国物理学会的第一位女会长。她们是女科学家的杰出代表，许多女青年以她们为榜样走上了科学道路。

    相比之下，女性在物理学、化学、生物学、医学等领域的成就较大，而在数学领域的成就较小，从事数学科学研究的女性也特别少，这和数学界长期歧视女性有关。世界上第一个女性数学教授是俄国的柯伐列夫斯卡娅。她在俄国找不到工作，后来在1889年成为瑞典斯德哥尔摩大学的数学教授。20世纪最伟大的女数学家E·诺特，是抽象代数的奠基人，但在1920年的德国格丁根大学，校方一直只让她当讲师，不许她当教授。

    第二次世界大战之后，情况有很大改变。J·罗宾逊在1983年当选为美国数学会第一位女性会长，中国的胡和生教授成为中国科学院第一位女性数学院士。1998年美国产生1216个数学博士，其中919个为男性，297个为女性，女性数学博士占全体博士的近四分之一。中国女数学家的人数也在增加。

    教育学和心理学的研究一再表明，女学生和男学生的数学能力没有什么差异，所谓“女生不适合读数学”是完全没有根据的。可以预料，随着社会的进步和男女平等观念的完全树立，女性数学家一定会在21世纪做出辉煌的贡献。

    知识点：数学家、歧视、平等

    为什么采用公历纪年

    2004年的二月共有29天。若你再翻翻以前的日历，便会发现2003年的二月只有28天，再看看2002年的日历，2002年的二月份同样是28天。我们便把二月份中只有28天的公历年叫平年，而把二月份有29天的公历年叫做闰年。2004年便是闰年。

    为什么要分平年与闰年呢?

    天文学上将地球绕太阳自春分点回到春分点的时间，叫做一个回归年，它的长度却不是365天，而是365．2422天。若一年按照365天计算，则每年多出来的0．2422天又该怎么办呢?从前人们规定平年365天，每4年便有一个闰年，是366天。像这样计算是拿365．25作为一个回归年，几乎每年要长11分14秒。

    像这样的误差看上去似乎很小，可积累起来就不得了，从公元前46年算起，至16世纪，竟然租差10天之多，后来3月21日的春分提早到了3月11日。因此人们也只好规定1582年的10月5日当作10月15日，补回了所丢失的10天。

    为了避免之后再次出现误差积累的现象，对闰年便又做了重新的规定：只要能被4整除的公历年便是闰年；但逢百的年份必须能被400整除才能是闰年。像1996年是闰年，2000年能被400整除，因此也是闰年，但2200年便不是闰年了。闰年指的是公历年，但闰月都是农历年的现象。像1998年的农历闰5月，这一年会有两个5月，这又是为何呢?

    众所周知，我国的节气是农历所特有的，像2月4日立春，12月翅日冬至等等；农历所反映的是指月亮的盈亏变化(如海水的潮汐一样)，而且照顾了寒暑的时令。它规定了大月是30天，小月是29天。由于月相变化一周期的时间为29．5306天，这样几个月的平均值便很接近月相变化一周期所用的时间了。所以规定了平年有12个月，全年都354日或者355日，和公历的回归年平均相差有1O日21时，为了改正这个误差，因此规定每三年便设有13个月，全年共有384天。通过这种巧妙的安排，才让每月所表示的节气相差不会太大。因此农历的闰月实际上便是农历年的闰年，是为了和公历相配合才设置的。

    因为使用农历纪年在节气上不可以像公历那样大体上比较固定，并且它的计算也很复杂，平年和闰年天数相差很多天，因此采用公历比农历普遍而且也很方便。

    知识点：平年、闰年、回归年、节气